Магия чисел

Число 100 девятью различными числами

Известный математики, физик и астроном Я.И.Перельман в популярной книге «Занимательная арифметика» приводит несколько, как выразился сам автор, «математических курьезов». Вот некоторые из них:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 × 9 = 100

12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

123 – 45 – 67 + 89 = 100

24 3/6 + 75 9/18 = 100

94 + 1578/263 = 100

В каждом из них тем или иным математическим способом из девяти натуральных чисел от 1 до 9 получено число 100. Давайте и мы приобщимся к этим «курьезам», поставим задачу:

расставить в строке цифр  1 2 3 4 5 6 7 8 9  в любых местах символы четырех арифметических операции  +   ×  ÷  (или не ставить ничего, образовывая двузначные, трехзначные и т.д. числа) так, чтобы значение полученного числового выражения было равно числу 100. Использование любых других символов и операций (скобки, знаки корней, возведение в степень и т.д.) не разрешено.

Шестьсот шестьдесят шесть
 

В «Войне и мире» Л.Н. Толстого есть эпизод, когда Пьер счёл «цифирный вес» Наполеона равным числу зверя – 666, подогнал написание своего имени под такой же, увидел в том знамение и решил идти убивать Бонапарта. Не поленитесь перепроверить арифметику Пьера – возможно, это подскажет причину его неудачи.

Число же и в самом деле необычное. Вот некоторые из его удивительных арифметических свойств:

  • 666 является суммой квадратов первых семи простых чисел:

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666;

  • 666 является суммой первых 36 натуральных чисел, и так как на игровой рулетке 37 секторов с последовательными числами, одно из которых 0, то сумма всех чисел на колесе рулетки равна 666:

0 + 1 + 2 + 3 + . . . + 35 + 36 = 666;

  • 666 является разностью и суммой шестых степеней первых трёх натуральных чисел:

16 – 26 + 36 = 666;

  • 666 можно представить как сумму чисел, составленных из цифр от 1 до 9 двумя способами в возрастающем порядке цифр и одним в убывающем:

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666,

123 + 456 + 78 + 9 = 666,

9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666;

  • 666 равно сумме своих цифр и кубов своих цифр:

6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63 = 666;

  • 666 является числом харшад (cлово «харшад» происходит от санскритского harsa – «великая радость»), то есть делится нацело на сумму своих цифр:

666 / (6 + 6 + 6) = 37;

  • 666  является числом Смита, то есть, сумма цифр его простых сомножителей равна сумме цифр в его записи, действительно

2 · 3  · 3 · 37 = 666  и  2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18;

  • 666 в кубе равняется сумме кубов 3 предыдущих чисел записанных одной цифрой:

3333 + 4443 + 5553 = 6663;

  • среднее гармоническое цифр числа 666 – целое число, и число 666 является 54-м по счёту числом с таким свойством:

3 / (1/6 + 1/6 + 1/6) = 6; 

  • если записать все римские цифры, которые меньше 1000 в порядке убывания, получим число DCLXVI равное 666:

D + C + L + X + V + I = 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 666;

  • число вида 2i, содержащее в своей записи число 666, называется апокалиптическим; таким числом есть число

2666 = 306180206916083902309240650087602475282639486413866622…

Удивительно!

Кстати, в азиатских странах, в отличие от европейских, 6 является «счастливым числом». По этой причине 6 июня 2006 года (6.6.6) в Сингапуре было заключено в три раза больше браков, чем обычно.

Два двузначных числа

Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры. Действительно,

46 · 96 = 4416 = 64 · 69.

Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?

Обозначив цифры искомых чисел через х и y, z и t, составляем уравнение

(10x + y)(10z + t) = (10y + x)(10t + z).

Раскрыв скобки, получаем после упрощений:

xz = yt,

где х, y, z, t — целые числа, меньшие 10. Для разыскания решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:

1 · 4 = 2 · 2 2 · 9 = 3 · 6 1 · 9 = 3 · 3
2 · 8 = 4 · 4 1 · 8 = 2 · 4 4 · 9 = 6 · 6
1 · 6 = 2 · 3 3 · 8 = 4 · 6 2 · 6 = 3 · 4

Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел. Например, из равенства 1 · 4 = 2 · 2 составляем одно решение:

12 · 42 = 21 · 24.

Из равенства 1 · 6 = 2 · 3 находим два решения:

12 · 63 = 21 · 36  и  13 · 62 = 31 · 26.

Таким образом разыскиваем следующие 14 решений:

12 · 42 = 21 · 24     23 · 96 = 32 · 69

12 · 63 = 21 · 36     24 · 63 = 42 · 36

12 · 84 = 21 · 48     24 · 84 = 42 · 48

13 · 62 = 31 · 26     26 · 93 = 62 · 39

13 · 93 = 31 · 39     34 · 86 = 43 · 68

14 · 82 = 41 · 28     36 · 84 = 63 · 48

23 · 64 = 32 · 46     46 · 96 = 64 · 69

Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, «Наука», 1970)